Tema 1

1	Si a > 0, b < 0  y  a < b, ¿qué relación hay entre  y ? Solución: Como a > 0  y  b < 0, entonces ab < 0  y  a > b. Dividimos la desigualdad a > b entre ab en ambos miembros y resulta .
2	¿La diferencia de dos números irracionales es siempre irracional? ¿Y el cociente? Pon ejemplos. Solución: Ambas son falsas. Basta considerar el mismo número irracional x, entonces x - x = 0 que es racional y  que también es irracional. Otros ejemplos: x = = 3,14159...; y = = 0,14159...  x - y = 3 x = 2 = 6,28316...; y = = 3,14159...
3	Si a(b + c) < b(a + c), ¿qué relación hay entre a y b? Solución:
4	Una aproximación por exceso de un número da 35,64. Si se comete un error del 3%, determina el número exacto hasta las centésimas. Solución: Número exacto = x
5	Si a, b < 0  y  a < b, ¿qué relación hay entre  y ? Solución: Como a, b < 0, entonces ab > 0. Dividimos la desigualdad a < b entre ab en ambos miembros y resulta
6	Halla la fórmula que nos da el área de un triángulo equilátero en función del lado. Solución: Si el lado es a, la altura h se halla mediante el teorema de Pitágoras:  (la solución negativa no vale) El área es:
7	Aproxima a) a las décimas por exceso y por defecto b) a las milésimas por exceso y por defecto. Estima una cota del error absoluto y relativo en cada caso. Solución: a) Exceso: 0,5; Defecto: 0,4. EA  0,05; ER  0,11 b) Exceso: 0,424; Defecto: 0,423. EA  0,0005; ER  0,0012
8	Si el cociente de dos número es 15, ¿cuánto vale el cociente de sus cubos? Solución: x / y = 15  x3 / y3 = (x / y)3 = 153 = 3375
9	Halla la fórmula que da la altura de un triángulo en función del lado que mide “a” cm. Solución: La altura AH divide a la base en dos segmentos cuya medida es a/2 cm. Utilizando el teorema de Pitágoras se tiene:
10	Da aproximaciones por defecto y por exceso de los siguientes números reales: a) , con tres cifras decimales. b) , con seis cifras decimales. c) , con seis cifras decimales. Solución: a) b) c)
11	El error relativo de dos mediciones A = 4 y B = 3,5 es del 5% y del 3% respectivamente. Realiza una estimación del error relativo al realizar a) A + B b) A - B Solución: a) b)
12	Realiza las siguientes operaciones con números reales. a) b) Solución: a) b)
13	Realiza las siguientes operaciones con números reales. a) b) Solución: a) b)
14	Escribe como fracciones irreducibles los siguientes números decimales: a) 13,176      b) -2,132132132...     c) -42,31121212...     d) 6,3141414... Solución: a) Si r = 13,176 entonces 1.000r = 13176. Por tanto b) Si r = -2,132132132... entonces 1.000r = -2132,132132. Por tanto 1.000r - r = -2130 Þ c) Si r = -42,31121212... entonces análogamente d) De forma análoga se tiene
15	Demuestra que  es un número irracional. Solución: Probemos que  no es un número racional, o lo que es lo mismo, que no existe ningún numero racional cuyo cuadrado sea 3. Supongamos lo contrario, es decir que siendo a y b primos entre sí, se verifica En el razonamiento siguiente se comprueba que esta hipótesis conduce a una contradicción. Si a y b son primos entre sí, también son primos sus cuadrados. Como , donde  es múltiplo de Hemos llegado a una contradicción, por tanto  es un número irracional.
16	La medida de la intensidad de corriente en un circuito es 3,8 amperios, con error absoluto de 0,2 amperios. Si su resistencia es de 200 ohmios y tiene un error relativo del 5%, ¿cuál es el voltaje, V = I·R? Estima el error absoluto y el error relativo en el resultado. Solución: La intensidad está entre 3,6 y 4 amperios y la resistencia entre 190 y 210 ohmios, por lo que el voltaje está entre 3,6 · 190 = 684 y 4 · 210 = 840 voltios. Estimamos que el voltaje será el punto medio, es decir, 762 voltios EA = 78, ER = 0,1024.
17	Demuestra que es irracional el siguiente número: Solución: Expresando cada una de las fracciones en base 10 se tiene: La suma en forma decimal  es: Este número no es periódico ya que detrás del 1 se van colocando 1, 2, 3, 4,... ceros sucesivamente.
18	Un alumno escribe: a) 4 = 3,999... b) 5 = 4,999... c) 73 = 72,999... ¿Son ciertas estas igualdades? Solución: a) Pasando 3,999... a forma fraccionaria se tiene: b) Pasando 4,999... a forma fraccionaria se tiene: c) Pasando 72,999... a forma fraccionaria se tiene: Por lo tanto las tres igualdades son ciertas.
19	Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas. a) Todo número racional es real. b) Todo número real es racional. c) Todo número natural es entero. d) Todo número entero es natural. e) Todo número racional es irracional. f) Todo número natural es irracional. g) Todo número racional es periódico. h) Todo número periódico es racional. Solución: a) Verdadera. b) Falsa. c) Verdadera. d) Falsa. e) Falsa. f) Falsa. g) Falsa. h) Verdadera.
20	Da el conjunto numérico al que pertenece cada uno de los siguientes números de modo que no pertenezca a ninguno anterior: -3; 5/2; ; 9; 6,4; ; 0,101001000100001... Solución: -3 al conjunto de los números enteros 5/2 al conjunto de los números racionales  al conjunto de los números reales 9 al conjunto de los números naturales  al conjunto de los números racionales 0'101001000100001... al conjunto de los números reales
21	Si el producto de dos número es 16, ¿cuánto vale el producto de sus cubos? Solución: xy = 16  x3y3 = (xy)3 = 163 = 4096
22	El patio de una cárcel es un cuadrado de 50 m de lado. Un recluso pasea recorriendo el perímetro del cuadrado con velocidad constante, y otro lo hace sobre la diagonal AB con la misma velocidad. Si parten simultáneamente del punto A, ¿volverán a encontrarse? Solución: La respuesta es no. La demostración se hace por reducción al absurdo. Si los reclusos se encuentran tienen que hacerlo en la esquina A o en la esquina B. La diagonal del cuadrado mide: El camino recorrido por el primer recluso después de m trayectos será de m×2×50 El camino recorrido por el segundo recluso después de n trayectos será de Si se encontrasen, los caminos recorridos serían iguales, luego Si se encontrasen  sería un número racional, lo cual es imposible.
23	Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 20 cm. ¿Qué clase de número es? Solución: La altura AH divide a la base en dos segmentos iguales cuya medida es 10 cm. Utilizando el teorema de Pitágoras se tiene: El número  es irracional por serlo
24	Decidir razonadamente si los siguientes números son racionales. a) 1,9999... b) 3,272727... c) 1,2345678910111213... d) 48,122112211221... Solución: a) Racional por ser periódico (de periodo 9). b) Racional por ser periódico (de periodo 27). c) Irracional pues ninguna serie de números se repite indefinidamente. d) Racional por ser periódico (de periodo 1221).
25	Los números reales también son cotidianos. La hoja Din-A4 tiene unas medidas tales que la largura es igual a la anchura por . Comprueba este resultado midiendo cuidadosamente las dimensiones físicas de una hoja. Si el lado pequeño mide 21 cm, ¿cuánto medirá el otro? Solución: Se trata de comprobar que el lado mayor de la hoja mide:  cm De modo que una aproximación de esa medida por exceso con un decimal significativo será de: 29,7 cm.
26	Completa la siguiente tabla: Solución: Para cada intervalo considerado [a,b], la diferencia entre sus extremos debe de ser b-a = error, por tanto la tabla completada es:
27	Calcula el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. El número que se ha obtenido ¿es racional o irracional? Solución: Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo OAB se obtiene: El número  es un número irracional por serlo
28	Dados los números: a) 0,9999999...   b) 0,494949...      c) 0.141144111444...     d) 0.123321123321... Di si son racionales o no. Solución: a) 0,9999999... es un número racional ya que es decimal periódico. Su periodo es 9. b) 0,494949... es un número racional ya que es decimal periódico. Su periodo es 49. c) 0.141144111444... es un número irracional. Basta observar que las cifras 1 y 4 se van colocando de una en una, de dos en dos, de tres en tres, y así sucesivamente. d) 0,123321123321... es un número racional ya que es decimal periódico. Su periodo es 123321.
29	Indica si el desarrollo decimal es periódico o no: a) 3,2222...   b) 0,537537537...    c) 0,101001000100001... d) 0,12112111211112... Solución: a) 3,2222... es un número decimal periódico. Su periodo es 2. b) 0,537537537... es un número decimal periódico su periodo es 537. c) 0'101001000100001... No es un número decimal periódico. Observa que detrás de cada 1 se va colocando 1, 2, 3, 4,... ceros sucesivamente. d) 0,12112111211112... No es un número decimal periódico. Observa que delante de cada 2 se va colocando 1, 2, 3, 4,... unos sucesivamente.
30	Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm y 12 cm. Expresa el resultado con dos decimales. Solución: Utilizando el teorema de Pitágoras se tiene: La medida de la diagonal es un número irracional Una aproximación por defecto con dos números decimales es: d = 15,62.
31	Escribe los cinco primeros números decimales que determinan  siendo el error cometido menor que: 1, 10-1, 10-2, 10-3, ... Solución: Los cinco primeros números decimales con ese orden de error son: