1 | Se tiene el siguiente conjunto de 26 datos: 10 13 4 7 8 11 10 16 18 12 3 6 9 9 4 13 20 7 10 17 10 16 14 8 18 5 Obtén su mediana y cuartiles. Solución: Formamos la tabla de frecuencias absolutas acumuladas de la distribución -.La mediana Me y el 2º cuartil Q2 coinciden: -. Cuartil 1º: -. Cuartil 3º: | ||||||||||||||||||||||||
2 | Las edades, en años, de los asistentes a cierto curso fueron las siguientes: 37, 35. 38, 36 37, 40, 38, 25, 38 a) ¿Cuál es la edad media de los asistentes? b) La varianza del conjunto de datos anterior es 19. Si las mismas personas asisten a otro curso dentro de 2 años. Obtén razonadamente la media y, la varianza del nuevo conjunto de datos a partir de las correspondientes al conjunto de datos inicial. Solución: La distribución contiene N = 9 datos distintos que se corresponden con las edades xi =37, 35, ..., 38 a) La media es b) Recordemos que si dos distribuciones En nuestro caso si x son las edades actuales e y son las edades dentro de 2 años, se tiene: yi = xi + 2, es decir: a = 1 y b =2, así que tendremos: | ||||||||||||||||||||||||
3 | Las dietas (en miles de euros) por diversos conceptos tales como (antigüedad, desplazamientos,...) de los directivos de una empresa durante este añovienen dados en el siguiente cuadro, se pide: a) Calcula la dieta más frecuente. b) Comprueba que la dieta media ha sido de 17,24. Calcula igualmente la desviación típica de las dietas. Solución: Formamos la tabla de frecuencias de la distribución, se tiene: a) La dieta más frecuente es la moda Mo cuyo intervalo es I3: b) Media y desviación de las dietas: Media: Desv. Típica: | ||||||||||||||||||||||||
4 | Los pesos en kg de 20 alumnos de cierto centro son: 51 47 55 53 49 47 48 50 43 60 45 54 62 57 46 49 52 42 38 61 a) Agrupa los datos en clases de amplitud 5 kg siendo el extremo inferior del primer intervalo 37,5 kg b) Dibuja el correspondiente histograma y calcula la media de los datos agrupados. Solución: a) Formamos la tabla de la distribución con las clases indicadas, incluyendo las columnas necesarias para abordar el cálculo de parámetros del siguiente apartado. b) El histograma de la distribución es el de la figura adjunta. El peso medio es: | ||||||||||||||||||||||||
5 | Con la variable edad en años de una muestra de 84 personas se forma la siguiente tabla de frecuencias: a) Completa la tabla de frecuencias. b) Calcula la media y la desviación estándar usando la tabla. Solución: a) A partir de las frecuencias acumuladas de cada clase, calculamos las relativas según las columnas necesarias para el cálculo de parámetros. b) Parámetros estadísticos: Media: Desv. Típica: | ||||||||||||||||||||||||
6 | Las puntuaciones obtenidas en un test por 11 alumnos son los siguientes: 21, 36, 9, 23, 32, 25, 28, 20, 34, 33, 31 a) Determina la mediana. b) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene puntuación menor que 32? Solución: Ordenamos los datos de menor a mayor, se tiene: x1 = 9; x2 = 20; x3 = 21; x4 = 23; x5 = 25; x6 = 28; x7 = 31; x8 = 32; x9 = 33; x10 = 34; x11 = 36 a) Como el tamaño de la muestra es N = 11, la mediana es Me = x6 = 28 b) Hay 7 alumnos que tienen nota inferior a 32, por tanto el porcentaje es: | ||||||||||||||||||||||||
7 | Los pesos en miligramos de 20 recién nacidos son: 3686, 3724, 3547, 2539, 4042, 3959, 3519, 3180, 3401, 3524, 3515, 3426, 3436, 3146, 2891, 3191, 2565, 1764, 3948, 2945 a) Construye una tabla de distribución de frecuencias cuyo primer intervalo sea [1600,2200) y todos los intervalos tengan la misma amplitud. b) Determina entre qué pesos estará el 90% de la muestra, considerados excluidos el 5% con peso más bajo y el 5% con peso más alto. c) Calcula la media y desviación típica de la muestra. Solución: a) La tabla por intervalos completa b) El intervalo de pesos está situado entre los percentiles P5 y P95, dichos percentiles son: c) Media: Desv. Típica: | ||||||||||||||||||||||||
8 | Los valores de la variable talla, medida en centímetros, en una muestra de 50 estudiantes de Sociología se recogen en la siguiente tabla, se pide: a) Media y desviación típica de la muestra. b) ¿Cuál es la talla mínima del 10% de estudiantes más altos de la muestra? Solución: Si xi es la talla en cm de los estudiantes, podemos formar la siguiente tabla de cálculos: a) Media: Desv. Típica: b) Se trata de hallar el percentil 90 o lo que es lo mismo el decil 10 D9: La talla mínima del 10% de los estudiantes más altos es de 183 cm | ||||||||||||||||||||||||
9 | A lo largo de un curso, un grupo de estudiantes obtuvo las siguientes calificaciones con las frecuencias que se indican, se pide: a) Calcula la media y la desviación típica. b) Calcula la mediana y el primer cuartil. Solución: Formamos la tabla de cálculos de la distribución, se tiene: a) Media: Desv. Típica: b) Mediana: Primer cuartil Q1: | ||||||||||||||||||||||||
10 | El número de días que faltaron al colegio los niños de una clase se recoge en la siguiente tabla: a) Calcula la media y la desviación típica. b) Calcula el tercer cuartil. Solución: Formamos la tabla de la distribución, sobre ella se tiene: a) Media y desviación típica: b) Tercer cuartil Q3: Siendo | ||||||||||||||||||||||||
11 | Una muestra de préstamos solicitados, presenta los datos que se reflejan en la tabla adjunta, se pide: a) Representa gráficamente los datos mediante un polígono de frecuencias acumuladas. b) Calcula la media y la mediana. c) Calcula la desviación típica de los datos. Solución: a) b) Media y mediana: Me: c) Desv. Típica de los datos: | ||||||||||||||||||||||||
12 | Encuestados 100 matrimonios, se considera la variable de respuesta x = número de hijos y se obtuvo la información que se refleja en la tabla adjunta, se pide construir la tabla de distribución de frecuencias relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas, para construir los correspondientes polígonos de frecuencias de la distribución. Determina la media, mediana y desviación típica. Solución: Formamos la tabla de la distribución para realizar los cálculos: -. Los polígonos de frecuencias absolutas y acumuladas son los de las dos figuras adjuntas. -. Los parámetros de la distribución son: Media: Desviación típica: Mediana: | ||||||||||||||||||||||||
13 | La distribución de frecuencias relativas, obtenida a partir de una muestra de datos sobre salarios de primer empleo (en euros), viene dada por la tabla siguiente. Se pide: a) Calcula la mediana y los cuartiles. b) Calcula la media y el salario más frecuente. Solución: a) Mediana y cuartiles: Q1: Q2: Q3: b) Media, directamente de la última columna: El salario más frecuente es la moda de la distribución MoÎI3: | ||||||||||||||||||||||||
14 | La suma de unos datos es 25 unidades y la de sus cuadrados 250 unidades cuadradas. Si la media y la desviación estándar coinciden, calcula: a) La media de los datos. b) La varianza del conjunto de datos. Solución: En una distribución de N datos x1, x2, ..., xN, la media y la desviación típica, se definen mediante: Con los datos del enunciado, se tiene: como además ambos parámetros coinciden, se tiene: Desconsiderando el caso trivial N = 0 datos, la única solución posible es N = 5. Con ése valor, se tiene: Media de los datos: | ||||||||||||||||||||||||
15 | La temperatura que ha marcado un termómetro en una semana ha sido
a) Determina la media de las mínimas b) Determina la media de las máximas c) Determina la media de las oscilaciones extremas diarias. Solución: a) b) c) | ||||||||||||||||||||||||
16 | Las puntuaciones obtenidas por 50 alumnos de un curso en la realización de una prueba se dan en la siguiente tabla. Se pide, calcular: a) La moda y la mediana de la puntuación obtenida. ¿Cuál es el significado de estos valores? b) El primer y el tercer cuartil. ¿Cuál es el significado de estos valores?. c) La media, la varianza y la desviación típica de la puntuación obtenida. d) ¿Qué ocurre con el valor de la media si a todos los alumnos se les sube la puntuación obtenida 1 punto?, ¿y con la varianza? Razona las respuestas. Solución: Formamos la tabla de la distribución. a) La moda Mo = 6 valor más frecuente. La mediana Me es el 2º cuartil Q2 b) Los cuartiles: Q1, Q2 y Q3: Q1: Q2: Q3: c) Parámetros: Media d) La media de notas sube un punto y la varianza y desviación típica permanecen inalteradas. | ||||||||||||||||||||||||
17 | Los valores de la variable talla, medida en centímetros, en una muestra de 50 estudiantes se recogen en la siguiente tabla: a) Calcula la media y la desviación típica. b) ¿Cuál es la clase que contiene a la mediana? Solución: Formamos la siguiente tabla de cálculos: a) Media Desv. Típica b) Clase mediana: la mediana es | ||||||||||||||||||||||||
18 | Si a los números 1, 2, 3, 4 y 5 los multiplicamos por 2, ¿qué relación existe entre las medias y las varianzas de ambas series estadísticas? ¿Y entre los coeficientes de variación? Solución: La media se ve multiplicada por 2, la varianza por 4 y el coeficiente de variación permanece igual. | ||||||||||||||||||||||||
19 | Si a los números 1, 2, 3, 4 y 5 les sumamos 6, ¿existe alguna relación entre las medias y las varianzas de ambas series estadísticas? ¿Y entre los coeficientes de variación? Solución: La media se ve incrementada en 6, la varianza se mantiene y el coeficiente de variación varía. | ||||||||||||||||||||||||
20 | Completa la tabla sabiendo que
Solución: La x y la y se extraen de la resolución de este sistema cuyas soluciones son x=1, y=2 y también x=-24, y=-23, pero por tratarse de frecuencias sólo es válida la primera solución. | ||||||||||||||||||||||||
21 | Completa la tabla sabiendo que
Solución: La x y la y se extraen de la resolución de este sistema cuyas soluciones son x=15, y=2 y también x=-23,5, y=-85; x=9,09804,y=42,8354, pero por tratarse la y de una frecuencia sólo es válida la primera solución. | ||||||||||||||||||||||||
22 | Si a los números 1, 2, 3, 4 y 5 los multiplicamos por 2, ¿qué relación existe entre las media y varianzas de ambas series estadísticas? ¿Y entre los coeficientes de variación? Solución: Al multiplicar por 2 los datos, la media queda también multiplicada por 2, y la varianza queda multiplicada por 22 = 4. Como el coeficiente de variación es el cociente entre la desviación típica y la media, y ambas quedan multiplicadas por 2, el coeficiente de variación no varía al multiplicar los datos por 2. |
PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
